Typologie van systeemgedrag

Uit Systeemmodellering
Ga naar: navigatie, zoeken

Een typologie van systeemgedrag is een conceptueel model dat systemen op grond van bepaalde gedragskenmerken in verschillende categorieën indeelt.

Inhoud

Continu versus Discreet

Het gedrag van een systeem noemen we continu als eigenschappen geleidelijk van waarde veranderen. Denk aan het leeglopen van een bak water: het volume neemt alle waarden aan tussen het beginvolume en nul. Wanneer eigenschappen alleen in stappen veranderen, noemen we het gedrag discreet. Voorbeelden: het aantal voertuigen in een straat, de stand van een schakelaar (aan/uit) of het aantal mailtjes in je inbox.

Bij discreet gedrag heb je in de praktijk vaak overgangssituaties waarin er toch een geleidelijke overgang is: wanneer vind je dat een auto "in" de straat is als deze de straat aan het inrijden is? En heb je een "half" mailtje in je inbox wanneer nog niet alle bytes binnen zijn? In deze gevallen noemen we het gedrag in het algemeen discreet als de tijd van de overgang (het binnenkomen van de auto of het mailtje) kort is ten opzichte van de overige tijd.

Het onderscheid continu/discreet hangt meestal ook af van het aggregatieniveau dat we gebruiken. Als we kijken naar het aantal voertuigen in een stad in plaats van in een enkele straat, zijn het er zoveel dat we het aantal in goede benadering als een continue grootheid kunnen opvatten (en er zelfs een differentiaalvergelijking voor zouden kunnen opstellen). En dalen we in het geval van de waterstroming af tot moleculair niveau, dan wordt het gedrag discreet omdat we losse moleculen langs zien komen.

Periodiek / Cyclisch

Dagelijks elektriciteitsgebruik in Nederland (bron: tennet.eu)

In een periodiek of cyclisch systeem nemen de grootheden na telkens hetzelfde tijdsinterval (de periode) dezelfde waarden aan. De spanning op het lichtnet volgt een sinusfunctie met een periode van 0,02 s. Het elektriciteitsgebruik in Nederland verloopt dagelijks volgens eenzelfde patroon – zie de grafiek rechts. Voor het verkeersaanbod op de wegen en het aantal reizigers in de trein geldt hetzelfde.

In de praktijk gedraagt bijna geen enkel systeem zich perfect periodiek. Het elektriciteitsverbruik in het weekend wijkt af van dat door de week, in de winter gaat de straatverlichting eerder aan dan in de zomer. En ook de spanning op het lichtnet is niet geheel periodiek: zowel de spanning als de frequentie variëren een beetje.

Stabiel versus instabiel

Stabiliteit ↔ Evenwicht

Bij stabiel gedrag gaan grootheden naar een evenwichtswaarde toe. Na een verstoring keert de grootheid toch weer terug naar deze waarde. In veel gevallen zitten er grenzen aan de verstoring: buiten deze grenzen komt de grootheid niet meer terug bij de evenwichtswaarde. Een voorbeeld is cruise control: gaat de weg iets meer stijgen of dalen, dan wordt de benzinetoevoer zo geregeld dat de snelheid constant blijft. Maar stijgt of daalt de weg teveel, dan gaat de snelheid afwijken.

Bij instabiel gedrag nemen de grootheden steeds sneller toe of af. Theoretisch zouden de waarden dan oneindige (of negatief oneindige) waarden krijgen. In de praktijk lopen de waarden tegen de systeemgrenzen aan.

Dynamisch

Een systeem is dynamisch als het terugkoppeling bevat.

Terugkoppeling kan zorgen voor stabiliteit. De thermostaat in een koelkast laat de koeling aanslaan als de temperatuur te hoog wordt, en schakelt deze weer uit als de temperatuur weer de gewenste waarde heeft. Bij een receptie nemen de aanwezigen de lengte van de rij waar. Als deze korter wordt, sluiten ze zich aan om te gaan feliciteren, maar wordt de rij langer, dan drinken ze eerst nog een drankje. Zo blijft de lengte van de rij vaak lange tijd stabiel.

Terugkoppeling kan echter ook instabiliteit veroorzaken. Het geluid dat een microfoon bereikt, wordt versterkt naar de luidsprekers. Maar als het geluid dat daar uitkomt de microfoon weer bereikt, wordt het nogmaals versterkt. Zo ontstaat het onaangename "rondzingen".

Tenslotte kan terugkoppeling zorgen voor periodiciteit. De terugdrijvende kracht bij een schommel is evenredig met de uitwijking ervan. Hierdoor ontstaat een periodieke (in dit geval sinusvormige) beweging.

Stochastisch versus deterministisch

Een systeem zonder toevalsprocessen is deterministisch. Als de relaties tussen de grootheden en de beginwaarden van alle grootheden bekend zijn, kunnen de toekomstige waarden uitgerekend worden.

Een systeem waarin toevalsprocessen een rol spelen, heet stochastisch.

Er zijn eigenlijk maar weinig systemen écht stochastisch. Zelfs van een dobbelsteen die geworpen wordt, zou aan de hand van de fysische wetten en de beginwaarden (positie, snelheid, rotatiesnelheid, massaverdeling enz.) voorspeld kunnen worden wat er gegooid gaat worden. In de praktijk is dit echter ondoenlijk, en kan het proces beter als een stochastisch proces opgevat worden.

In de natuurkunde wordt alleen radioactief verval als geheel stochastisch gezien. Totdat we misschien ooit het mechanisme erachter ontdekken.

Of menselijk gedrag deterministisch is, is een voortdurend onderwerp van discussie. Bepalen alle chemicaliën in onze hersenen samen de keuzes die we maken? Vanuit modelleeroogpunt worden keuzes van mensen vaak met kansverdelingen beschreven.

Chaotisch

Als een systeem bepaald wordt door niet-lineaire vergelijkingen, kan het heel gevoelig worden voor kleine afwijkingen. Het gedrag kan dan chaotisch zijn. 'Chaos' betekent in de natuurwetenschappen niet hetzelfde als in het dagelijkse spraakgebruik ("Die kamer van jou is wel een chaos, zeg."), maar duidt op de moeilijke voorspelbaarheid die het gevolg is van de niet-lineariteiten. Maar als de beginsituatie volledig bekend zou zijn, zou het systeemgedrag wél voorspelbaar zijn. We spreken dan ook wel, iets preciezer, van deterministische chaos.

Het weer is een typisch voorbeeld van een chaotisch systeem. Als we van álle grootheden in de atmosfeer (temperatuur, windsnelheid, vochtigheid, enz.) álle waarden zouden weten op dit moment, konden we precies uitrekenen of we het overmorgen droog houden bij de barbecue. De fysische wetten die het weer bepalen zijn namelijk bekend. Maar deze wetten bevatten niet-lineaire termen. Daardoor verstoort de kleinste afwijking in de beginwaarden in de loop van de tijd steeds meer onze voorspelling. En we wéten niet eens op alle plaatsen alle waarden van de grootheden (de weerstations staan nogal ver uit elkaar). Het weer is dus theoretisch wel voorspelbaar (deterministisch), maar praktisch nooit.

Opmerkingen

CO₂-concentratie op Mauna Loa

Bovenstaande indelingen overlappen elkaar. Een systeem dat echt periodiek is, is ook deterministisch (want je weet precies wat er gaat gebeuren). Een systeem dat instabiel is, is dat vaak juist doordat het dynamisch is. En zo zijn er meer koppelingen in de indelingen.

Werkelijke systemen vallen vaak net niet precies in te delen. Zo is de koolstofdioxide in de atmosfeer cyclisch met een periode van een jaar (dit wordt veroorzaakt door de seizoenen), maar de gemiddelde waarde stijgt intussen door het versterkte broeikaseffect. Zie de grafiek rechts. Bij het maken van een model zou je, afhankelijk van de onderzoeksvraag, een van de effecten kunnen verwaarlozen.

Zie ook